ÉTUDE DES CARRÉS MAGIQUES D'ORDRE 3

On s'intéresse à tous les carrés magiques d'ordre 3 comportant tous les nombres de 1 à 9.  On sait que la somme magique d'un tel carré est égale à 15.

De combien de façon peut-on écrire 15 comme somme de 3 entiers naturels deux à deux distincts compris entre 1 et 9 ?

On trouve 8 façons différentes :
 

9 + 5 + 1 = 15

9 + 4 + 2 = 15

8 + 6 + 1 = 15

8 + 5 + 2 = 15

8 + 4 + 3 = 15

7 + 6 + = 15

7 + 5 + 3 = 15

6 + 5 + 4 = 15

nombre   1      2     3     4     5     6     7     8     9  
nombre d'apparitions dans
la décomposition précédente 
  2   3   2   3   4   3   2   3     2

 

Le nombre qui apparaît dans la case centrale doit figurer dans au moins quatre sommes différentes : seul le 5 peut convenir.
 

On peut ensuite chercher à placer le 1 : comme il n'apparaît que dans deux sommes, il ne peut en aucun cas figurer sur l'un des coins.

         

Le 1 ne peut qu'utiliser une des quatre cases ci-dessous :

 

  l

 

  l

 

 l

 

  l

 

Le premier choix du 1 conduit à deux carrés magiques :

 8

  l

 6

 

 5

 

 

 9

 

ou

 6

  l

 8

 

 5

 

 

 9

 

qu'il est alors facile de compléter...

Comme il y a 4 positions possibles pour le 1, on trouve 8 carrés magiques d'ordre 3 possibles (on vérifie bien qu'ils sont effectivement magiques).

Remarques sur les huits carrés obtenus

On passe du carré 1) au carré 2) par la symétrie axiale d'axe 159.
On passe du carré 1) au carré 3) par la symétrie axiale d'axe la diagonale 852.
On passe du carré 1) au carré 4) par une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre.
On passe du carré 1) au carré 5) une rotation d'un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
On passe du carré 1) au carré 6) par la symétrie axiale d'axe la diagonale 654.
On passe du carré 1) au carré 7) par la symétrie axiale d'axe 753.On passe du carré 1) au carré 8) par rotation d'un demi-tour.

Il n'existe donc, exactement que 8 carrés magiques d'ordre 3, mais qui se déduisent d'un seul (le carré 1) par rotation, symétrie ou demi-tour.
Par contre, on peut montrer qu'il y a 880 carrés d'ordre 4 ! Le nombre de carrés magiques d'ordre 5 n'est pas connu, mais doit avoisiner les 13 millions !