LE RECTANGLE D'OR

On appelle rectangle d'or un rectangle tel que le rapport des mesures de sa longueur et de sa largeur soit le nombre d'or, c'est à dire tel que son format vérifie .

Le plus bel exemple d'utilisation architecturale du rectangle d'or est le Parthénon.

Construction d'un rectangle d'or

 La construction d'un rectangle d'or est simple, il suffit de suivre les instructions suivantes :

- tracer un carré ABCD
- noter E le milieu de [AB]
- tracer un cercle C de centre E et de rayon (EC)
- prolonger [AB) jusqu'à ce qu'il coupe le cercle
- noter F le point d'intersection de (AB) sur C
- tracer [FG] perpendiculaire à [AF]
- prolonger [DC] jusqu'à ce qu'il coupe la perpendiculaire
- noter G le point d'intersection

Le rectangle obtenu est un rectangle d'or.

Prouvons que cette construction aboutit bien à un rectangle d'or, c'est à dire que .

Notons a le coté du carré initial. On a alors et BC = a
En utilisant le théorème de Pythagore on a
et par suite
On a donc puisque

Rectangles d'or à l'infini

La construction précédente fait apparaître un rectangle BFGC qui est lui aussi un rectangle d'or. En effet ses deux côtés vérifient . Prouvons-le.

Puisque , on a , et donc

Or et par suite ou encore

Tout rectangle d'or peut se décomposer en un carré et un rectangle d'or qui lui aussi peut se décomposer en un carré et un rectangle d'or. On peut renouveler cette construction autant de fois qu'on le veut. Un rectangle d'or peut donc être décomposé en une infinité de carrés tous différents Dans ce tourbillon de carrés il est possible d'inscrire une spirale.

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